Множини, числа, дроби
📚 Конспект та теорія ▼
Усі числа в математиці об'єднуються у **множину дійсних чисел ($\mathbb{R}$)**, яка ділиться на дві великі групи:
Раціональні числа ($\mathbb{Q}$)
Числа, які можна подати у вигляді дробу $\frac{m}{n}$, де $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$.
Натуральні ($\mathbb{N}$): $1, 2, 3, 4, ...$ (для лічби).
Цілі ($\mathbb{Z}$): $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
Дробові: скінченні ($\frac{3}{4}, 0.5, -1.3$) або нескінченні періодичні ($0.(3), 2.1(6)$).
Ірраціональні числа ($\mathbb{I}$)
Нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Їх неможливо подати у вигляді звичайного дробу.
Приклади: $\pi \approx 3.14159\dots$, $e \approx 2.718\dots$, $\sqrt{2}, \sqrt{7}, \sqrt{0.1}$.
📌 Зверніть увагу: Число $1$ — натуральне, але воно ні просте, ні складене!
• Прості числа: мають точно 2 дільники (1 і само себе): $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\dots$
• Складені числа: мають більше 2 дільників: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 15\dots$
2. Ознаки подільності чисел
На 2, 5, 10:
Залежить від останньої цифри:
на 2: закінчується парною ($0, 2, 4, 6, 8$)
на 5: закінчується на $0$ або $5$
на 10: закінчується на $0$
На 3 та 9:
Залежить від суми цифр числа:
на 3: сума цифр ділиться на 3
на 9: сума цифр ділиться на 9
Дільники та НСД/НСК:
• Дільник числа $a$ — число, на яке $a$ ділиться без остачі (1 є дільником будь-якого числа).
• Остача: завжди строго менша за дільник ($r < n$).
3. Звичайні дроби
Дріб $\frac{a}{b}$ складається з чисельника $a$ (скільки частин взяли) та знаменника $b$ (на скільки частин поділили).
Правильні та неправильні дроби:
• Якщо $a < b$ — дріб правильний ($\frac{3}{4}, \frac{5}{8}$).
• Якщо $a \ge b$ — дріб неправильний ($\frac{7}{2}, \frac{13}{3}$). З нього можна виділити цілу частину: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Основні дії з дробами:
Додавання/Віднімання: з однаковими знаменниками $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$. З різними — спочатку зводимо до спільного знаменника.
Множення: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ (чисельник на чисельник, знаменник на знаменник).
Ділення: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ (перший дріб множимо на обернений другий).
Обернене число: для дробу $\frac{a}{b}$ оберненим є $\frac{b}{a}$. Для $17$ обернене — $\frac{1}{17}$.
4. Десяткові дроби та округлення
Переведення у десятковий дріб:
Щоб перетворити $\frac{a}{b}$ на десятковий дріб, потрібно чисельник поділити на знаменник куточком:
• $\frac{9}{20} = 9 : 20 = 0.45$
• $\frac{11}{4} = 11 : 4 = 2.75$
Правило округлення:
Дивимося на цифру після того розряду, до якого округлюємо:
Якщо це 0, 1, 2, 3, 4 — розряд залишаємо без змін.
Якщо це 5, 6, 7, 8, 9 — збільшуємо розряд на $1$.
Наприклад: $0.64519 \approx 0.65$ (до сотих), $12.92712 \approx 12.9$ (до десятих).
5. Ключові алгоритми розв'язування задач
1. Знаходження частини від числа:
Щоб знайти дріб $\frac{a}{b}$ від числа $N$, потрібно **число помножити на дріб**:
Результат = N · (a / b)
Приклад: $\frac{1}{4}$ від $16$ м $\rightarrow 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ м.
2. Знаходження числа за його частиною:
Якщо відомо, що частина $K$ становить дріб $\frac{a}{b}$ від усього числа, потрібно **значення поділити на дріб**:
Всього = K : (a / b) = K · (b / a)
Приклад: $21$ учень — це $\frac{3}{8}$ класу $\rightarrow 21 : \frac{3}{8} = 21 \cdot \frac{8}{3} = 56$ учнів.
🎥 Відеорозбір теми ▼
Відеоурок до цієї теми записується та буде доступний незабаром.
📝 Тренувальні вправи ▼
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Множина дійсних чисел (R) обʼєднує всі раціональні та ірраціональні числа.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Будь-який звичайний або скінченний дріб належить до множини раціональних чисел (Q).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Число π є нескінченним неперіодичним десятковим дробом, тобто ірраціональним числом.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Г
Пояснення: Скінченний десятковий дріб 10,9 є раціональним числом.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Квадратний корінь із неточного квадрата (√2) є нескінченним неперіодичним дробом, тобто ірраціональним числом.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: √0,16 = 0,4, що є раціональним числом.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Це класичне визначення простого числа (має точно два різні натуральні дільники).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Число 1 є натуральним, але воно не належить ні до простих, ні до складених чисел.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Г
Пояснення: Число 15 має більше ніж два дільники (1, 3, 5, 15), тому воно складене.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: -1 належить до множини цілих чисел (Z), але не є натуральним числом.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Сума цифр визначає подільність на 3 та 9. Подільність на 2 залежить виключно від останньої цифри.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Будь-яке натуральне число, що закінчується на 0, є кратним 2, 5 і 10.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: Суми цифр чисел у варіанті В: 1+0+2=3, 1+1+7=9, 1+3+5=9, 1+4+4=9 (усі діляться на 3).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: Кратне числу 15 має ділитися на 15: 120 : 15 = 8.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Остача при діленні на n завжди є строго меншою за n (тобто від 0 до n-1).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Дільник числа 15 — це число, на яке 15 ділиться без остачі (15 : 3 = 5).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: Число 1 є дільником будь-якого цілого числа.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Зафарбовано 3 частини з 12: 3/12 = 1/4.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: З 4 рівних трикутників 1 незафарбований, що відповідає дробу 1/4.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: Відрізали: 16 * 1/4 = 4 м. Залишилося: 16 - 4 = 12 м.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Знаходимо число за його дробом: 21 : (3/8) = 21 * 8 / 3 = 56 учнів.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: 1/11 + 10/11 = 11/11 = 1.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: 9/5 - 8/5 = 1/5.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: 1/6 - 11/18 = 3/18 - 11/18 = -8/18 = -4/9.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Г
Пояснення: Ділимо чисельник і знаменник на 11: 11/22 = 1/2.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: Ділимо чисельник і знаменник на 6: 6/24 = 1/4.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: 5/25 = 1/5. Обернене число — це 5/1 = 5.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: Неправильний дріб має чисельник більший або рівний знаменнику (13 > 3).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: 7 : 2 = 3 (остача 1), отже 3 1/2.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: (2 * 3 + 1) / 3 = 7/3.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: Число 7 скорочується, залишається 3/11.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: (16 * 2) / (9 * 5) = 32/45.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Г
Пояснення: (7 * 3) / 13 = 21/13.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Число 5 скорочується: (2 * 3) / 7 = 6/7.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: (5/6) * (12/5) = 12/6 = 2.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: 3 / (7 * 15) = 1 / (7 * 5) = 1/35.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: 9 : 20 = 45 : 100 = 0,45.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: 11 : 4 = 2,75.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: У розряді тисячних стоїть 5, тому збільшуємо розряд сотих на одиницю: 0,65.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: У розряді сотих стоїть 2 (< 5), тому розряд десятих залишається без змін: 12,9.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: 1,04 + 3,20 = 4,24.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: 25,5 - 3,3 = 22,2.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: 2,71 + 6,26 = 8,97.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: 0,2 + 3,0 = 3,2.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: 3,60 + 4,53 = 8,13.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Г
Пояснення: 0,3 + 2,5 + 6,0 = 8,8.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: 0,53 - 0,20 = 0,33.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: 1,67 * 3 = 5,01.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: 0,76 * 5,098 = 3,87448.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Г
Пояснення: 3,51 : 1,3 = 35,1 : 13 = 2,7.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Г
Пояснення: 5,3 : 7 ≈ 0,7571... Третя цифра після коми (7) більша за 4, тому 0,757... ≈ 0,76.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 1-В, 2-А, 3-Г
Пояснення: 1) -5 — ціле від'ємне число (не натуральне); 2) 13 — просте число; 3) √144 = 12 — парне натуральне число.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: Сума цифр без зірочки: 1 + 4 + 7 + 0 = 12. Якщо замість * підставити 0, то сума цифр буде 12 (ділиться на 3).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: Сума відомих цифр: 5 + 8 + 1 + 0 = 14. Щоб отримати суму 18 (ділиться на 3), необхідно додати 4 (14 + 4 = 18).
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Сума відомих цифр: 6 + 2 + 0 + 1 = 9. При підстановці 0 сума залишиться 9, що ділиться на 9.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: Загальна вартість: S = 12x + 3y = 3(4x + y). Отже, підсумкова сума обов'язково має ділитися на 3. З усіх варіантів лише 39 ділиться на 3.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Б
Пояснення: Кількість учнів повинна бути дільником числа 72. Серед запропонованих варіантів тільки 9 є дільником 72.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: Д
Пояснення: Загальна вартість: S = 10k + 5x = 5(2k + x). Вартість повинна ділитися на 5. З поданих варіантів тільки 35 ділиться на 5.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: Шукаємо найменше спільне кратне НСК(6, 8, 10): 6 = 2*3, 8 = 2^3, 10 = 2*5. НСК = 2^3 * 3 * 5 = 120 м.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: В
Пояснення: Розкладено по ящиках: 6386 - 530 = 5856 кг. Кількість ящиків: 5856 / 24 = 244 ящики.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 28
Пояснення: Кількість учнів є спільним дільником 588, 140 і 252. НСД(588, 140, 252) = 28. Оскільки 28 > 20, в класі 28 учнів.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: А
Пояснення: 1 день: 1800 * 2/9 = 400 га. 2 день: 1800 * 1/6 = 300 га. 3 день: 1800 - (400 + 300) = 1100 га.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 1-Б, 2-А, 3-Г
Пояснення: 1) 2/27 — нескоротний; 2) 21/12 — неправильний (чисельник 21 > знаменник 12); 3) 1/17 — обернений до 17.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 0.62
Пояснення: 3/6 = 0,5. Тоді 0,5 * 1,24 = 0,62.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 156
Пояснення: За 1 та 2 дні продали: 5/16 + 7/16 = 12/16 = 3/4 усіх яблук. На третій день залишилось: 1 - 3/4 = 1/4 частина. 624 * 1/4 = 156 кг.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 25
Пояснення: 1 день: 60 * 1/4 = 15 км. 2 день: 60 * 1/3 = 20 км. 3 день: 60 - (15 + 20) = 25 км.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 4.7
Пояснення: 1) 2 * (3/4) = 6/4 = 1,5; 2) (12/25) : (3/20) = (12/25) * (20/3) = (4 * 4) / 5 = 16/5 = 3,2; 3) 1,5 + 3,2 = 4,7.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 28
Пояснення: Ганнуся: 126 * 2/9 = 28. Решта: 126 - 28 = 98. Олеся: 98 * 5/7 = 70. Катруся: 98 - 70 = 28 грибів.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 420
Пояснення: Олег: 1024 * (11/32) = 352 грн. Решта: 1024 - 352 = 672 грн. Максим: 672 * (5/8) = 420 грн. Тарас: 672 - 420 = 252 грн. Найбільша сума у Максима — 420 грн.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 81
Пояснення: 63 * (9/7) = 9 * 9 = 81 деталь.
🔍 Перевірити відповідь та розв'язок
Правильна відповідь: 40
Пояснення: 18 * (20/9) = 2 * 20 = 40 галушок.
⚡ Тренажер НМТ / Тести
🔒 Тести для цього модуля саме завантажуються. Оновлення буде доступне найближчим часом!