← Назад до програми

Блок 1 Алгебра

Степені, стандартний вигляд числа

📚 Конспект та теорія ▼

1. Основні поняття та степені з цілим показником

📌 Визначення

Степінь з натуральним показником: $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($n$ разів, $n \ge 2$)

Степінь з нульовим показником: $a^0 = 1$ $(a \neq 0)$ (Пам'ятай: $0^0$ не має змісту!)

Степінь з від'ємним цілим показником: $a^{-n} = 1 / a^n$ $(a \neq 0)$

Степінь дробу з від'ємним показником: $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$

Знак при піднесенні до степеня:

Від'ємне число у парному степені: $(-2)^4 = 16$ (додатне).

Від'ємне число у непарному степені: $(-2)^3 = -8$ (від'ємне).

Зверни увагу на дужки: $-2^4 = -16$, але $(-2)^4 = 16$.

2. Основні властивості степенів

Для будь-яких $a > 0$, $b > 0$ та довільних показників $m$ і $n$:

Операція	Формула	Приклад
Множення степенів	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^5 = x^8$
Ділення степенів	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$a^{12} : a^4 = a^8$
Піднесення до степеня	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(a^4)^3 = a^{12}$
Степінь добутку	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
Степінь частки	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/3)^2 = x^2 / 9$

3. Степінь з раціональним показником

Зв'язок дробового степеня з арифметичним коренем:

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0, n \in \mathbb{N}, n \ge 2, m \in \mathbb{Z})$

$25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$

$8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = 2^2 = 4$

$27^{-2/3} = 1 / 27^{2/3} = 1 / 3^2 = 1/9$

4. Стандартний запис числа

Стандартний вигляд числа: $a \cdot 10^n$, де $1 \le a < 10$ та $n \in \mathbb{Z}$.

💡 Як перетворити число?

Великі числа ($n > 0$): Кому вліво: $149 \text{ млн} = 1,49 \cdot 10^8$, $300 \; 000 = 3 \cdot 10^5$.

Малі числа ($n < 0$): Кому вправо: $0,00052 = 5,2 \cdot 10^{-4}$.

⚡ Лайфхаки для НМТ

Зведення до спільної основи: Числа $4, 8, 16, 32, 64$ подавай як степені двійки ($2^2, 2^3, \dots$).

Розкладання складних основ: Якщо бачиш $6^7 / 2^5$, розклади $6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$.

Приставки СІ: Кіло = $10^3$, Мега = $10^6$, Мілі = $10^{-3}$, Мікро = $10^{-6}$.

🎥 Відеорозбір теми ▼

Відеоурок до цієї теми записується та буде доступний незабаром.

📝 Тренувальні вправи ▼

1. Обчисліть: $\left(\frac{5}{2}\right)^2$

А: 3,5

Б: 4,5

В: 6,25

Г: 5

Д: 12,5

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $\left(\frac{5}{2}\right)^2 = (2,5)^2 = 6,25$.

2. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $\left(1\frac{2}{3}\right)^{-1}$

А: (-\infty; -10]

Б: (-10; 0]

В: (0; 1]

Г: (1; 10]

Д: (10; +\infty)

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $\left(1\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{5} = 0,6$. Число $0,6 \in (0; 1]$.

3. Варіанти відповідей для виразу $\left(1\frac{2}{3}\right)^{-1}$:

А: $\frac{3}{5}$

Б: $\frac{5}{3}$

В: 1,5

Г: $-1\frac{2}{3}$

Д: $1\frac{3}{2}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $\left(1\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{5}$.

4. Обчисліть: $25^{-\frac{1}{2}}$

А: -0,2

Б: 5

В: -12,5

Г: -5

Д: 0,2

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0,2$.

5. Обчисліть: $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}$

А: 2

Б: 4

В: 8

Г: 16

Д: 1/16

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Г

Пояснення: $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$.

6. Обчисліть: $(0,3)^2 \cdot 10^4$

А: 600

Б: 900

В: 6000

Г: 9000

Д: $3^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $(0,3)^2 \cdot 10^4 = 0,09 \cdot 10000 = 900$.

7. Спростіть вираз: $\frac{a^{24}}{(a^4)^2}$

А: $a^{18}$

Б: $a^3$

В: $a^8$

Г: $a^4$

Д: $a^{16}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $\frac{a^{24}}{(a^4)^2} = \frac{a^{24}}{a^8} = a^{24-8} = a^{16}$.

8. Спростіть вираз: $a^6 \cdot (a^2)^3$

А: $a^{30}$

Б: $a^{36}$

В: $a^{11}$

Г: $a^{12}$

Д: $a^{48}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Г

Пояснення: $a^6 \cdot (a^2)^3 = a^6 \cdot a^6 = a^{6+6} = a^{12}$.

9. Спростіть вираз: $\frac{a^5 \cdot a}{a^3}$

А: $a^2$

Б: $a^{\frac{5}{3}}$

В: $a^5$

Г: $a^6$

Д: $a^3$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $\frac{a^5 \cdot a^1}{a^3} = \frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$.

10. Спростіть вираз: $\frac{6c^2b}{12cb^3}$

А: $\frac{c}{2b^2}$

Б: $\frac{2c}{b^2}$

В: $\frac{2b^2}{c}$

Г: $72c^3b^2$

Д: $2cb^2$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $\frac{6c^2b}{12cb^3} = \frac{6}{12} \cdot \frac{c^2}{c} \cdot \frac{b}{b^3} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{c}{2b^2}$.

11. Спростіть вираз: $(a^6)^4 : a^2$

А: $a^5$

Б: $a^8$

В: $a^{10}$

Г: $a^{12}$

Д: $a^{22}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $(a^6)^4 : a^2 = a^{24} : a^2 = a^{24-2} = a^{22}$.

12. Записати вираз у вигляді степеня: $((x^8)^3)^4$

А: $x^{96}$

Б: $x^{15}$

В: $x^{44}$

Г: $x^{20}$

Д: $x^{22}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $((x^8)^3)^4 = x^{8 \cdot 3 \cdot 4} = x^{96}$.

13. Який показник степеня матиме основа $d$ у виразі: $d \cdot d^{21}$?

А: 23

Б: 20

В: 22

Г: 21

Д: 18

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $d^1 \cdot d^{21} = d^{1+21} = d^{22}$. Показник степеня 22.

14. Який показник степеня матиме $d$ після спрощення виразу: $(d^3)^5 : d^3 \cdot d$?

А: 5

Б: 11

В: 13

Г: 15

Д: 16

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $(d^3)^5 : d^3 \cdot d = d^{15} : d^3 \cdot d^1 = d^{15 - 3 + 1} = d^{13}$. Показник 13.

15. При якому значенні $a$ справедлива рівність: $m^7 \cdot m^a = m^{14}$?

А: 2

Б: 6

В: 7

Г: 12

Д: 14

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $m^{7+a} = m^{14} \Rightarrow 7 + a = 14 \Rightarrow a = 7$.

16. Якому з виразів тотожно дорівнює вираз: $3^{100}$?

А: $3^{10} \cdot 3^{10}$

Б: $3^{1000} / 3^{10}$

В: $3^{50} + 3^{50}$

Г: $(3^{10})^{10}$

Д: $(3^{50})^{50}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Г

Пояснення: $(3^{10})^{10} = 3^{10 \cdot 10} = 3^{100}$.

17. Який показник степеня матиме основа $c$ після спрощення виразу: $c^8 \cdot c^6 : c^3$?

А: 3

Б: 11

В: 5

Г: 16

Д: 6

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $c^{8 + 6 - 3} = c^{11}$. Показник 11.

18. Обчисліть значення виразу: $\frac{3^{10} \cdot 11^{12}}{33^{11}}$

А: 33

Б: 11/9

В: 1/33

Г: 3/11

Д: 11/3

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $\frac{3^{10} \cdot 11^{12}}{(3 \cdot 11)^{11}} = \frac{3^{10} \cdot 11^{12}}{3^{11} \cdot 11^{11}} = 3^{10-11} \cdot 11^{12-11} = 3^{-1} \cdot 11^1 = \frac{11}{3}$.

19. Обчисліть: $\frac{33^4}{9 \cdot 11^3}$

А: 9/11

Б: 99

В: 33

Г: 11/9

Д: 990

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $\frac{(3 \cdot 11)^4}{3^2 \cdot 11^3} = \frac{3^4 \cdot 11^4}{3^2 \cdot 11^3} = 3^{4-2} \cdot 11^{4-3} = 3^2 \cdot 11 = 9 \cdot 11 = 99$. (Наявний варіант Б дорівнює 99, проте Б відповідає 99, а В — 33. Див. обчислення: 99).

20. Обчисліть: $\frac{20^7 \cdot 0,1^6}{4^5}$

А: 2,5

Б: 1,25

В: 8

Г: 1/256

Д: 0,000025

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $\frac{20^7 \cdot 10^{-6}}{(2^2)^5} = \frac{(2^2 \cdot 5)^7 \cdot 10^{-6}}{2^{10}} = \frac{2^{14} \cdot 5^7 \cdot 10^{-6}}{2^{10}} = 2^4 \cdot 5^7 \cdot 10^{-6} = 16 \cdot 78125 \cdot 10^{-6} = 1250000 \cdot 10^{-6} = 1,25$.

21. Знайдіть значення виразу: $\frac{7^{-6} \cdot 7^{-8}}{(-7)^{-13}}$

А: -1/7

Б: 1/49

В: 1/7

Г: 7

Д: -7

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: Чисельник: $7^{-14}$. Знаменник: $(-7)^{-13} = -(7^{-13})$. Вираз: $\frac{7^{-14}}{-(7^{-13})} = -7^{-14 - (-13)} = -7^{-1} = -\frac{1}{7}$.

22. Обчисліть: $\frac{5^{-5} \cdot 11^{-6}}{55^{-7}}$

А: 55

Б: 5/11

В: 275

Г: 11/5

Д: 605

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $\frac{5^{-5} \cdot 11^{-6}}{(5 \cdot 11)^{-7}} = \frac{5^{-5} \cdot 11^{-6}}{5^{-7} \cdot 11^{-7}} = 5^{-5 - (-7)} \cdot 11^{-6 - (-7)} = 5^2 \cdot 11^1 = 25 \cdot 11 = 275$.

23. Спростіть вираз: $\frac{x^5 \cdot x^{-2}}{x^{-5}}$

А: $x^2$

Б: $x^{12}$

В: $x^{15}$

Г: $x^{-2}$

Д: $x^8$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $\frac{x^{5 + (-2)}}{x^{-5}} = \frac{x^3}{x^{-5}} = x^{3 - (-5)} = x^8$.

24. Подайте у вигляді степеня вираз: $a^{-1,2} \cdot a^{0,3}$

А: $a^{-0,36}$

Б: $a^{-0,9}$

В: $a^{-4}$

Г: $a^{-1,5}$

Д: $a^{-3,6}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $a^{-1,2 + 0,3} = a^{-0,9}$.

25. Спростіть вираз: $(-2a^{-3}b)^{-2}$

А: $4a^6 / b^2$

Б: $a^6b^2 / 4$

В: $a^6 / (4b^2)$

Г: $-a^6 / (4b^2)$

Д: $4b^2 / a^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $(-2)^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot b^{-2} = \frac{1}{4} \cdot a^6 \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{a^6}{4b^2}$.

26. Обчисліть: $18^5 \cdot 9^{-5}$

А: 0

Б: 10

В: 1

Г: 2

Д: 32

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $18^5 \cdot 9^{-5} = \left(\frac{18}{9}\right)^5 = 2^5 = 32$.

27. Обчисліть: $(4^{\frac{3}{2}})^2$

А: 16

Б: 32

В: 12

Г: 8

Д: 64

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $(4^{\frac{3}{2}})^2 = 4^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 4^3 = 64$.

28. Знайдіть значення виразу: $5^4 : 5^2$

А: 1

Б: 5

В: 120

Г: 125

Д: 25

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $5^{4-2} = 5^2 = 25$.

29. Обчисліть: $27^{2/3} - 16^{1/4}$

А: 4

Б: 1

В: 2

Г: 5

Д: 7

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $27^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$. $16^{1/4} = (2^4)^{1/4} = 2$. $9 - 2 = 7$.

30. Обчисліть: $(16)^{3/4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

А: 16

Б: 4

В: 32

Г: 8

Д: 1,6

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $(2^4)^{3/4} \cdot 2^2 = 2^3 \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32$.

31. Спростіть вираз: $\frac{2}{9}y^{-2} \cdot 3y^4$

А: $\frac{5}{9}y^2$

Б: $\frac{2}{9}y^{-2}$

В: $\frac{2}{3}y^{-2}$

Г: $\frac{2}{3}y$

Д: $\frac{2}{3}y^2$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $\left(\frac{2}{9} \cdot 3\right) \cdot (y^{-2} \cdot y^4) = \frac{2}{3}y^2$.

32. Спростіть вираз: $7n^3 \cdot 8n^3$

А: $56n^6$

Б: $56n^3$

В: $15n^9$

Г: $56n^9$

Д: $15n^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $(7 \cdot 8) \cdot n^{3+3} = 56n^6$.

33. Спростіть вираз: $4a^3 \cdot 7a^2$

А: $28a^5$

Б: $11a^5$

В: $28a^6$

Г: $28a^8$

Д: $11a^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $(4 \cdot 7) \cdot a^{3+2} = 28a^5$.

34. Спростіть вираз: $0,4x^2 \cdot 5x^3$

А: $2x^5$

Б: $20x^5$

В: $2x^6$

Г: $0,2x^5$

Д: $0,2x^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $(0,4 \cdot 5) \cdot x^{2+3} = 2x^5$.

35. Спростіть вираз: $0,6x^3 \cdot 5x^4$

А: $30x^7$

Б: $3x^7$

В: $30x^{12}$

Г: $3x^{12}$

Д: $0,3x^{12}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $(0,6 \cdot 5) \cdot x^{3+4} = 3x^7$.

36. Спростіть вираз: $0,3x^2 \cdot 3x^4$

А: $0,9x^8$

Б: $0,6x^6$

В: $3,3x^6$

Г: $0,6x^8$

Д: $0,9x^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $(0,3 \cdot 3) \cdot x^{2+4} = 0,9x^6$.

37. Спростіть вираз: $0,8b^9 : (8b^3)$, де $b \neq 0$

А: $0,1b^6$

Б: $10b^6$

В: $6,4b^{12}$

Г: $0,1b^3$

Д: $10b^3$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $(0,8 : 8) \cdot (b^9 : b^3) = 0,1b^6$.

38. Спростіть вираз: $0,9a^6 : 0,1a^2$

А: $0,09a^4$

Б: $9a^4$

В: $9a^3$

Г: $10a^4$

Д: $10a^3$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $(0,9 : 0,1) \cdot (a^6 : a^2) = 9a^4$.

39. Спростіть вираз: $0,5x^2 \cdot (-4x)$

А: $-2x^3$

Б: $-0,2x^3$

В: $2x^3$

Г: $-2x^2$

Д: $-2x^5$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $(0,5 \cdot (-4)) \cdot x^{2+1} = -2x^3$.

40. Спростіть вираз: $7ab^2 \cdot ab^2$

А: $8ab^2$

Б: $8a^2b^4$

В: $7ab^4$

Г: $7a^2b^4$

Д: $7ab^2$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Г

Пояснення: $7 \cdot (a \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b^2) = 7a^2b^4$.

41. Обчисліть: $-3a^3b^2 \cdot 5a^2 \cdot b^7$

А: $-15a^6b^{14}$

Б: $-15a^5b^9$

В: $15a^5b^9$

Г: $15a^5b^{14}$

Д: $15a^6b^9$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $(-3 \cdot 5) \cdot a^{3+2} \cdot b^{2+7} = -15a^5b^9$.

42. Спростіть вираз: $(-2x^4)^3$

А: $-6x^7$

Б: $-8x^{12}$

В: $-8x^7$

Г: $8x^{12}$

Д: $6x^{12}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $(-2)^3 \cdot (x^4)^3 = -8x^{12}$.

43. Спростіть вираз: $(-2x^2)^3$

А: $-8x^6$

Б: $-6x^6$

В: $-2x^5$

Г: $-8x^5$

Д: $-2x^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $(-2)^3 \cdot (x^2)^3 = -8x^6$.

44. Спростіть вираз: $(-6x^3)^2$

А: $-6x^5$

Б: $36x^5$

В: $-12x^5$

Г: $-36x^6$

Д: $36x^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $(-6)^2 \cdot (x^3)^2 = 36x^6$.

45. Виконайте піднесення до степеня: $\left(\frac{4}{5}a^5\right)^3$

А: $\frac{12}{125}a^{15}$

Б: $\frac{64}{125}a^{15}$

В: $\frac{12}{125}a^8$

Г: $\frac{64}{125}a^{125}$

Д: $\frac{64}{125}a^8$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $\left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot (a^5)^3 = \frac{64}{125}a^{15}$.

46. Скоротіть дріб: $\frac{10ab^5}{5a^2b}$

А: $\frac{2b^4}{a}$

Б: $\frac{b^4}{2a^3}$

В: $50a^3b^6$

Г: $\frac{2b^4}{a^3}$

Д: $\frac{b^4}{2a}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $\frac{10}{5} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{b^5}{b} = 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot b^4 = \frac{2b^4}{a}$.

47. Спростіть вираз: $\frac{(2x^2)^3}{4x^3}$

А: $\frac{2}{x^3}$

Б: $\frac{2}{x^4}$

В: $\frac{4}{x^3}$

Г: $\frac{2}{x^3}$

Д: $2x^3$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $\frac{8x^6}{4x^3} = 2x^{6-3} = 2x^3$.

48. Виконати піднесення до степеня: $(-0,2abc)^3$

А: $-0,6a^3b^3c^3$

Б: $0,008abc^3$

В: $-0,008a^3b^3c^3$

Г: $0,006a^3b^3c^3$

Д: $-0,006a^3b^3c^3$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $(-0,2)^3 \cdot a^3b^3c^3 = -0,008a^3b^3c^3$.

49. В одному мегабайті міститься $2^{10}$ кілобайт. Скільки кілобайт у 16 мегабайтах?

А: $2^{14}$

Б: $2^{18}$

В: $32^{10}$

Г: $2^{13}$

Д: $2^{40}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $16 = 2^4$. $2^4 \cdot 2^{10} = 2^{14}$ кілобайт.

50. Порівняйте $5^2$ та $2^5$

А: Перше число більше

Б: Друге число більше

В: Числа однакові

Г: Порівняти неможливо

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: $5^2 = 25$, $2^5 = 32$. Оскільки $25 < 32$, друге число більше.

51. Порівняти: $9^{12}$ і $27^5$

А: Перше число більше

Б: Друге число більше

В: Вони рівні

Г: Порівняти неможливо

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: А

Пояснення: $9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{24}$. $27^5 = (3^3)^5 = 3^{15}$. Оскільки $3^{24} > 3^{15}$, перше число більше.

52. Порівняти: $64^6$ і $16^9$

А: Перше число більше

Б: Друге число більше

В: Вони рівні

Г: Неможливо порівняти

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $64^6 = (2^6)^6 = 2^{36}$. $16^9 = (2^4)^9 = 2^{36}$. Числа рівні.

53. Якщо $2^a = 3$, то $4^{a+1} =$

А: 12

Б: 13

В: 18

Г: 36

Д: 64

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Г

Пояснення: $4^{a+1} = 4^a \cdot 4^1 = (2^2)^a \cdot 4 = (2^a)^2 \cdot 4 = 3^2 \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$.

65. Озеро Ялпуг є найбільшою природною водоймою в Україні. Його площа становить 149 млн м$^2$. Запишіть це число у стандартному вигляді:

А: $14,9 \cdot 10^8$

Б: $14,9 \cdot 10^{-8}$

В: $1,49 \cdot 10^8$

Г: $149 \cdot 10^6$

Д: $0,149 \cdot 10^8$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: 149 млн = $149 \cdot 10^6 = 1,49 \cdot 10^8$.

66. Один моль Фосфору містить $6,02 \cdot 10^{23}$ атомів. Скільки атомів буде містити 1000 моль Фосфору?

А: $6,02 \cdot 10000^{23}$

Б: $6,02 \cdot 10^{20}$

В: $6,02 \cdot 10^{26}$

Г: $6020 \cdot 10^{26}$

Д: $6,02 \cdot 10^{69}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: В

Пояснення: $6,02 \cdot 10^{23} \cdot 1000 = 6,02 \cdot 10^{23} \cdot 10^3 = 6,02 \cdot 10^{26}$.

67. Визначте максимальну швидкість (у м/с) фантастичного зорельота, якщо вона становить 0,01 від швидкості світла у вакуумі. Уважайте, що швидкість світла у вакуумі дорівнює $3 \cdot 10^8$ м/с.

А: $3 \cdot 10^{10}$

Б: $3 \cdot 10^4$

В: $3 \cdot 0,1^8$

Г: $3 \cdot 10^{0,08}$

Д: $3 \cdot 10^6$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Д

Пояснення: $0,01 \cdot (3 \cdot 10^8) = 10^{-2} \cdot 3 \cdot 10^8 = 3 \cdot 10^6$ м/с.

68. Насадження ялівцю, що займають площу 1 га, за день виділяють в атмосферу фітонциди масою 30 кг. Яку масу фітонцидів виділять насадження ялівцю, що ростуть на 2000 га, за 30 днів?

А: $1,1 \cdot 10^5$ кг

Б: $1,8 \cdot 10^6$ кг

В: $1,8 \cdot 10^5$ кг

Г: $1,8 \cdot 10^7$ кг

Д: $2 \cdot 10^3$ кг

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Б

Пояснення: Маса = $30 \text{ кг/га\cdotдень} \cdot 2000 \text{ га} \cdot 30 \text{ днів} = 1800000 = 1,8 \cdot 10^6$ кг.

69. Масу дорогоцінних каменів вимірюють у каратах. Один карат дорівнює 0,2 г. Обчисліть масу діаманта масою 0,8 карата, подану в кілограмах.

А: $4 \cdot 10^{-3}$ кг

Б: $1,6 \cdot 10^{-2}$ кг

В: $1,6 \cdot 10^{-3}$ кг

Г: $1,6 \cdot 10^{-4}$ кг

Д: $4 \cdot 10^{-4}$ кг

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: Г

Пояснення: $0,8 \text{ карата} = 0,8 \cdot 0,2 \text{ г} = 0,16 \text{ г} = 0,16 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 1,6 \cdot 10^{-4}$ кг.

54. Обчислити: $\frac{4^{16} \cdot (4^2)^3}{4^7 \cdot (4^3)^4}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 16

Пояснення: $\frac{4^{16} \cdot 4^6}{4^7 \cdot 4^{12}} = \frac{4^{22}}{4^{19}} = 4^{22-19} = 4^3 = 64$.

55. Знайти значення виразу: $0,5 \cdot (-2)^3 - 36 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: -5

Пояснення: $0,5 \cdot (-8) - 36 \cdot \frac{1}{36} = -4 - 1 = -5$.

56. Обчислити: $\frac{(5^5)^4 \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot (5^3)^7}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 5

Пояснення: $\frac{5^{20} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 5^{21}} = \frac{5^{30}}{5^{29}} = 5^{30-29} = 5^1 = 5$.

57. Знайти значення виразу (відповідь округліть до цілого): $-0,4 \cdot (-3)^2 + \frac{1}{49} \cdot 7^2$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: -3

Пояснення: $-0,4 \cdot 9 + \frac{1}{49} \cdot 49 = -3,6 + 1 = -2,6$. Округлюємо до цілого: $-3$.

58. Обчисліть, використовуючи властивості степеня з натуральним показником: $\frac{4^5 \cdot 2^8}{32^3}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 8

Пояснення: $\frac{(2^2)^5 \cdot 2^8}{(2^5)^3} = \frac{2^{10} \cdot 2^8}{2^{15}} = \frac{2^{18}}{2^{15}} = 2^3 = 8$.

59. Обчисліть, використовуючи властивості степеня з натуральним показником. Відповідь помножте на 9 і впишіть: $\frac{36^8}{2^{13} \cdot 3^{18}}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 8

Пояснення: $\frac{(2^2 \cdot 3^2)^8}{2^{13} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{16} \cdot 3^{16}}{2^{13} \cdot 3^{18}} = 2^{16-13} \cdot 3^{16-18} = 2^3 \cdot 3^{-2} = \frac{8}{9}$. Помноживши на 9, отримуємо: $\frac{8}{9} \cdot 9 = 8$.

60. Обчислити. Відповідь домножте на 6 і впишіть: $\frac{48^6}{6^7 \cdot 8^5}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 8

Пояснення: $\frac{(6 \cdot 8)^6}{6^7 \cdot 8^5} = \frac{6^6 \cdot 8^6}{6^7 \cdot 8^5} = \frac{8^{6-5}}{6^{7-6}} = \frac{8}{6}$. Домножуємо на 6: $\frac{8}{6} \cdot 6 = 8$.

61. Обчислити: $\frac{6^7 \cdot 11^5}{66^4}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 396

Пояснення: $\frac{6^7 \cdot 11^5}{(6 \cdot 11)^4} = \frac{6^7 \cdot 11^5}{6^4 \cdot 11^4} = 6^{7-4} \cdot 11^{5-4} = 6^3 \cdot 11^1 = 216 \cdot 11 = 2376$.

62. Обчисліть: $\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-8}}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 243

Пояснення: $\frac{3^{-9} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^3)^{-8}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-24}} = \frac{3^{-17}}{3^{-24}} = 3^{-17 - (-24)} = 3^7 = 2187$.

63. Обчисліть: $\frac{2^{-1,6} \cdot 4^{4,8}}{8^{\frac{2}{3}}}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 64

Пояснення: $\frac{2^{-1,6} \cdot (2^2)^{4,8}}{(2^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{-1,6} \cdot 2^{9,6}}{2^2} = \frac{2^{8}}{2^2} = 2^6 = 64$.

64. Обчисліть: $\frac{2^{-8} \cdot 4^{-5}}{8^{-7}}$

🔍 Перевірити відповідь та розв'язок

Правильна відповідь: 8

Пояснення: $\frac{2^{-8} \cdot (2^2)^{-5}}{(2^3)^{-7}} = \frac{2^{-8} \cdot 2^{-10}}{2^{-21}} = \frac{2^{-18}}{2^{-21}} = 2^{-18 - (-21)} = 2^3 = 8$.

⚡ Тренажер НМТ / Тести

🔒 Тести для цього модуля саме завантажуються. Оновлення буде доступне найближчим часом!

Операція	Формула	Приклад
Множення степенів	\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)	\(x^3 \cdot x^5 = x^8\)
Ділення степенів	\(a^m : a^n = a^{m-n}\)	\(a^{12} : a^4 = a^8\)
Піднесення до степеня	\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)	\((a^4)^3 = a^{12}\)
Степінь добутку	\((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)	\((2x)^3 = 8x^3\)
Степінь частки	\((a/b)^n = a^n / b^n\)	\((x/3)^2 = x^2 / 9\)

Степені, стандартний вигляд числа

1. Основні поняття та степені з цілим показником

📌 Визначення

2. Основні властивості степенів

3. Степінь з раціональним показником

4. Стандартний запис числа

💡 Як перетворити число?

⚡ Лайфхаки для НМТ

⚡ Тренажер НМТ / Тести

ГОТОВІ ПІДКОРИТИ МАТЕМАТИКУ?

ЛОКАЦІЯ

МЕСЕНДЖЕРИ